Linear Equations of Higher Order

Introduction: Second-Order Linear Equations#

Basic Form#

一般的二阶 ODE 可以写成

F(x,y,y',y'')=0.

而 second-order linear equation 的标准形式是

A(x)y''+B(x)y'+C(x)y=F(x),

若 $A(x)\neq 0$ ，还可以化成

\boxed{y''+p(x)y'+q(x)y=f(x).}

这里称它是 linear，是因为 $y,y',y''$ 都只以一次幂出现，并且彼此之间不相乘。

例子：

线性： $e^x y''+(\cos x)y'+(1+x^2)y=\arctan x;$
非线性： $y''=yy',\qquad y''+(y')^2+y^3=0.$

Homogeneous and Nonhomogeneous Equations#

若右端为零，

\boxed{y''+p(x)y'+q(x)y=0}

则称为 homogeneous equation。

若右端不为零，

\boxed{y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)}

则称为 nonhomogeneous equation。

TIP
对 linear equations 来说，所谓 homogeneous，最直接的判断标准就是：right-hand side 是否等于 0。

Initial Conditions#

一个典型的二阶线性初值问题（IVP）写成

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \qquad y(x_0)=y_0, \qquad y'(x_0)=y_1.

因为二阶方程的通解通常含有两个任意常数，所以通常需要 两个初始条件 才能确定 particular solution。

Superposition, Uniqueness, and General Solutions#

Principle of Superposition#

对 homogeneous linear equation

y''+p(x)y'+q(x)y=0,

如果 $y_1$ 和 $y_2$ 都是在区间 $I$ 上的解，那么对任意常数 $c_1,c_2$ ，

\boxed{y=c_1y_1+c_2y_2}

仍然是该方程在 $I$ 上的解。

本质原因来自求导的线性性：

(c_1y_1+c_2y_2)'=c_1y_1'+c_2y_2',

(c_1y_1+c_2y_2)''=c_1y_1''+c_2y_2''.

WARNING
Superposition 只对 linear homogeneous equations 直接成立。对 nonlinear equations 或一般的 nonhomogeneous equations，不能直接这样相加。

Existence and Uniqueness#

对初值问题

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \qquad y(x_0)=y_0, \qquad y'(x_0)=y_1,

如果 $p,q,f$ 在包含 $x_0$ 的开区间 $I$ 上连续，那么这个 IVP 在整个区间 $I$ 上存在且仅存在一个解。

可以记住三个直接推论：

两个初始条件至多对应一个解；
若两个解在某一点有相同的 $y$ 和 $y'$ ，那它们在该区间上其实就是同一个解；
线性初值问题的行为通常比很多非线性方程更规则。

Linear Independence and the Wronskian#

若两个函数 $y_1,y_2$ 互不是彼此的常数倍，就称它们在区间 $I$ 上 linearly independent。

对于两个可微函数，它们的 Wronskian 定义为

\boxed{ W(y_1,y_2)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1y_2'-y_2y_1'. }

对同一个二阶 homogeneous linear equation 的两个解来说：

若 $y_1,y_2$ 线性相关，则 $W(y_1,y_2)=0$ ；
若 $y_1,y_2$ 线性无关，则 $W(y_1,y_2)\neq 0$ 。

典型例子：

W(\cos x,\sin x)=1,

W(e^x,xe^x)=e^{2x}.

所以这两组函数都是 linearly independent 的。

General Solution of a Homogeneous Second-Order Equation#

若 $y_1,y_2$ 是方程

y''+p(x)y'+q(x)y=0

的两个 linearly independent solutions，那么任意解都能写成

\boxed{y=c_1y_1+c_2y_2.}

这说明：二阶 homogeneous linear equation 的解集是一个二维线性空间。

例如，对

y''+y=0,

展开解答

已知 $\cos x$ 和 $\sin x$ 是线性无关解，所以通解为

\boxed{y=c_1\cos x+c_2\sin x.}

Linear Equations of Higher Order#

General Form#

$n$ 阶 linear ODE 一般写成

y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}(x)y'+p_n(x)y=f(x).

若 $f(x)\equiv 0$ ，则为 homogeneous；否则为 nonhomogeneous。

对应的 $n$ 阶 IVP 通常要给出

y(x_0),y'(x_0),\dots,y^{(n-1)}(x_0).

Homogeneous Solution Space#

二阶情形的结构会自然推广到更高阶：

homogeneous $n$ 阶 linear ODE 的解集构成线性空间；
若 $y_1,\dots,y_n$ 是 $n$ 个 linearly independent solutions，则

\boxed{y_c=c_1y_1+\cdots+c_ny_n}

就是 homogeneous equation 的通解。

Structure of Nonhomogeneous Solutions#

对 nonhomogeneous equation

L[y]=f(x),

若 $y_p$ 是一个 particular solution，而 $y_c$ 是对应 homogeneous equation $L[y]=0$ 的通解，那么原方程的通解是

\boxed{Y=y_c+y_p.}

总解 = complementary solution + particular solution。

Homogeneous Equations with Constant Coefficients#

现在考虑

\boxed{ay''+by'+cy=0,\qquad a,b,c\in\mathbb R,\ a\neq 0.}

Characteristic Equation#

尝试指数型解

y=e^{rx}.

则

y'=re^{rx},\qquad y''=r^2e^{rx}.

代回原方程得到

(ar^2+br+c)e^{rx}=0.

因为 $e^{rx}\neq 0$ ，所以得到 characteristic equation

\boxed{ar^2+br+c=0.}

也就是说，求这个 ODE 的关键变成了解一个二次代数方程。

Distinct Real Roots#

若 characteristic equation 有两个不同实根 $r_1\neq r_2$ ，则

\boxed{y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}.}

例如，

y''-5y'+6y=0

展开解答

的特征方程为

r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0,

故通解为

\boxed{y=c_1e^{2x}+c_2e^{3x}.}

Repeated Real Roots#

若 characteristic equation 有一个重实根 $r$ ，重数为 $m$ ，则对应解的结构为

\boxed{(C_1+C_2x+\cdots+C_mx^{m-1})e^{rx}.}

特别地，在二阶情形（ $m=2$ ）下，

\boxed{y=(c_1+c_2x)e^{rx}.}

例如，

y''+2y'+y=0

展开解答

的特征方程是

(r+1)^2=0,

所以

\boxed{y=(c_1+c_2x)e^{-x}.}

TIP
重根并不是“重复写同一个 $e^{rx}$ ”，而是会产生
$e^{rx},\ xe^{rx},\ x^2e^{rx},\dots$
这样一串线性无关解。

Complex Roots#

若特征方程有一对共轭复根

r=\alpha\pm \beta i, \qquad \beta\neq 0,

则对应的实通解可写为

\boxed{y=e^{\alpha x}(c_1\cos \beta x+c_2\sin \beta x).}

这来自 Euler formula：

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

例如，

y''-4y'+5y=0

展开解答

的特征方程是

r^2-4r+5=0,

解得

r=2\pm i,

所以通解为

\boxed{y=e^{2x}(c_1\cos x+c_2\sin x).}

Repeated Complex Roots#

若复根对 $\alpha\pm \beta i$ 的重数为 $k$ ，则对应解的部分可写成

\boxed{ \sum_{p=0}^{k-1} x^p e^{\alpha x}(c_p\cos \beta x+d_p\sin \beta x). }

这就是“重复复根”的版本，本质上仍然是“重数带来额外的 $x^p$ ”。

Polynomial Differential Operators#

为了更系统地理解重根现象，可以引入微分算子

D=\frac{d}{dx}.

那么方程可以写成

Ly=(aD^2+bD+c)y=0.

更一般地， $n$ 阶常系数方程对应算子

L=a_nD^n+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_1D+a_0.

这些算子在形式上和普通多项式很像。例如

(D-a)(D-b)=D^2-(a+b)D+ab.

Standard Workflow#

求解常系数 homogeneous linear ODE 的标准步骤可以记成：

Step 1. 写 characteristic equation。
Step 2. 求根。
Step 3. 判断根的类型：

distinct real roots；
repeated real root；
complex conjugate roots；
repeated complex roots。

Step 4. 按对应模板写 general solution。
Step 5. 若有 initial conditions，再解常数。

Bonus: Euler Equations#

Standard Form#

Euler equation（也叫 equidimensional equation）的一般形式是

a_0x^n y^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_n y=f(x).

它最核心的特征是： $x$ 的幂次和导数阶数恰好匹配。

二阶 homogeneous Euler equation 写成

\boxed{a_0x^2y''+a_1xy'+a_2y=0.}

Change of Variables#

令

x=e^t, \qquad t=\ln x \quad (x>0),

并记

D=\frac{d}{dt}.

则有关键恒等式

xy'=Dy,

x^2y''=D(D-1)y,

更一般地，

\boxed{x^k\frac{d^k y}{dx^k}=D(D-1)\cdots(D-k+1)y.}

所以 Euler equation 可以通过变量代换变成 constant-coefficient equation。

例如

a_0x^2y''+a_1xy'+a_2y=0

会变成

a_0D(D-1)y+a_1Dy+a_2y=0,

也就是

a_0\frac{d^2y}{dt^2}+(a_1-a_0)\frac{dy}{dt}+a_2y=0.

Euler Characteristic Equation#

对二阶 homogeneous Euler equation

a_0x^2y''+a_1xy'+a_2y=0,

代入试探解 $y=x^\lambda$ ，可得到 characteristic equation

\boxed{a_0\lambda(\lambda-1)+a_1\lambda+a_2=0.}

Solution Forms#

Euler equation 的解型和常系数方程非常平行，只是把 $e^{rx}$ 换成了 $x^\lambda$ 或带 $\ln x$ 的形式。

若有两个不同实根 $\lambda_1,\lambda_2$ ，则 $y=c_1x^{\lambda_1}+c_2x^{\lambda_2};$
若有重根 $\lambda$ ，则 $y=x^\lambda(c_1+c_2\ln x);$
若有复根 $\alpha\pm \beta i$ ，则 $y=x^\alpha\bigl(c_1\cos(\beta\ln x)+c_2\sin(\beta\ln x)\bigr).$

因此 Euler equation 的本质是：经过 $x=e^t$ 的代换后，它就是一个 disguised constant-coefficient equation。

Bonus: Reduction of Order#

Basic Idea#

考虑标准形式的 homogeneous second-order linear equation

y''+p(x)y'+q(x)y=0.

如果已经知道一个非零解 $y_1(x)$ ，那么就尝试把第二个解设成

\boxed{y_2=v(x)y_1(x).}

这就叫 reduction of order。

直观上，它表示第二个解和第一个解“形状相近”，但相差一个非常数因子。

Reduction Formula#

把 $y_2=v(x)y_1(x)$ 代入原方程并整理后，可得到公式

\boxed{y_2=y_1\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_1(x)^2}\,dx. }

只要这个积分结果不是 $y_1$ 的常数倍，就得到一个与 $y_1$ 线性无关的第二个解。

Reduction of order 特别适用于以下情形：

某个解可以直接看出来；
题目已经给了一个解；
方程有某种明显的 repeated structure，需要找第二个 independent solution。

WARNING
使用公式前，必须先把方程写成标准形式
$y''+p(x)y'+q(x)y=0.$

Nonhomogeneous Equations and Particular Solutions#

L[y]=f(x)

对应的 homogeneous equation

L[y]=0

的 general solution 为 $y_c$ ，再找到原方程的一个 particular solution $y_p$ ，那么总解就是

\boxed{y=y_c+y_p.}

因此求解非齐次方程始终是两步：

先求 complementary solution $y_c$ ；
再求一个 particular solution $y_p$ 。

本节主要有两种思路：

Method of Undetermined Coefficients；
Variation of Parameters。

前者适用于 constant-coefficient linear ODE 且右端 $f(x)$ 属于某些“封闭”的特殊类型；后者更理论。

Method of Undetermined Coefficients#

这一方法只适用于 constant-coefficient nonhomogeneous linear ODE，并且右端必须是有限组合的“好函数”：

polynomial $P_m(x)$ ；
exponential $e^{rx}$ ；
trigonometric terms $\sin kx,\cos kx$ ；
以及它们的乘积。

trial solution 选成与右端“同类型”，然后代回方程解待定系数。

最常见的 trial 形式：

若 $f(x)=P_m(x)$ ，则试 $y_p=A_0+A_1x+\cdots+A_mx^m.$
若 $f(x)=e^{rx}$ ，则试 $y_p=Ae^{rx}.$
若 $f(x)=P_m(x)e^{rx}$ ，则试 $y_p=e^{rx}Q_m(x).$
若 $f(x)=a\cos kx+b\sin kx$ ，则试 $y_p=A\cos kx+B\sin kx.$
若 $f(x)=e^{rx}(a\cos kx+b\sin kx)$ ，则试 $y_p=e^{rx}(A\cos kx+B\sin kx).$

Duplication and Multiplication by $x^s$ #

判断 trial solution 是否与 $y_c$ 重合。

若按常规规则得到的 $y_p^{(0)}$ 与 complementary solution $y_c$ 中已有项重复，则必须整体乘上最小的幂次 $x^s$ ，直到重合消失：

\boxed{y_p=x^s y_p^{(0)}}

其中 $s$ 取最小非负整数。

Example：

y^{(3)}+y''=3e^x+4x^2.

展开解答

先解对应齐次方程：

r^3+r^2=0\quad\Longrightarrow\quad r=0,0,-1,

所以

y_c(x)=c_1+c_2x+c_3e^{-x}.

对右端的两部分先分别猜：

(Ae^x)+(B+Cx+Dx^2).

其中 $Ae^x$ 与 $y_c$ 不重合；但 polynomial 部分中的 $1,x$ 已经出现在 $y_c$ 里，因为 $r=0$ 是 double root，所以这一整块要乘 $x^2$ ：

y_p=Ae^x+Bx^2+Cx^3+Dx^4.

再代回方程可以解出系数。这里最重要的不是最后的数字，而是这个判断：

只对发生重合的那一块乘 $x^s$ ，并且 $s$ 由相应特征根的重数决定。

Example：

一个非常典型的“只需写 trial form”的例子是

y^{(3)}+9y'=x\sin x+x^2e^{2x}.

展开解答

其 characteristic equation 为

r^3+9r=0\quad\Longrightarrow\quad r=0,\pm 3i,

所以

y_c(x)=c_1+c_2\cos 3x+c_3\sin 3x.

对右端两部分分别判断：

$x\sin x$ 的求导会生成 $\cos x,\ \sin x,\ x\cos x,\ x\sin x;$
$x^2e^{2x}$ 的求导会生成 $e^{2x},\ xe^{2x},\ x^2e^{2x}.$

并且这些项都与 $y_c$ 不重复，因此 particular solution 的一般形式可取

\boxed{ y_p(x)=A\cos x+B\sin x+Cx\cos x+Dx\sin x+Ee^{2x}+Fxe^{2x}+Gx^2e^{2x}. }

这里最重要的是把 closure under differentiation 的整组项一次写完整。

Variation of Parameters#

当右端 $f(x)$ 不再属于待定系数法可处理的“有限封闭类型”时，就需要更一般的方法。比如

y''+y=\tan x

中， $\tan x$ 的导数会不断产生新组合，无法用有限项试解处理，所以 method of undetermined coefficients 失效。这时就要用 variation of parameters。

设已知 homogeneous equation

y''+p(x)y'+q(x)y=0

的两个 linearly independent solutions 为 $y_1(x),y_2(x)$ ，则

y_c=c_1y_1+c_2y_2.

参数变易法的想法是：

不把 $c_1,c_2$ 当成常数，而是把它们“变成函数”。

于是设 particular solution 为

\boxed{y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).}

为了避免求导后出现更高阶的麻烦项，额外要求

\boxed{u_1'y_1+u_2'y_2=0.}

于是

y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'.

再代入原方程，可推出第二个方程

\boxed{u_1'y_1'+u_2'y_2'=f(x).}

于是得到关于 $u_1',u_2'$ 的线性方程组：

\begin{cases} u_1'y_1+u_2'y_2=0,\\ u_1'y_1'+u_2'y_2'=f(x). \end{cases}

其系数矩阵正是 Wronskian matrix。因为 $y_1,y_2$ 线性无关，所以

W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_1'y_2\neq 0,

故这个方程组有唯一解。用 Cramer’s rule 得

u_1'=-\frac{f(x)y_2(x)}{W(x)}, \qquad u_2'=\frac{f(x)y_1(x)}{W(x)}.

积分后代回，就得到

\boxed{ y_p(x)= -y_1(x)\int \frac{y_2(x)f(x)}{W(x)}\,dx +y_2(x)\int \frac{y_1(x)f(x)}{W(x)}\,dx. }

这就是二阶情形的 variation of parameters formula。

TIP
求 $u_1,u_2$ 时通常不写积分常数，因为这些常数最终只会回到 $C_1y_1+C_2y_2$ ，本质上属于齐次解部分。

Example:#

Example 1

y''+y=\tan x

展开解答

先解 homogeneous equation：

y''+y=0 \quad\Longrightarrow\quad y_1=\cos x,\qquad y_2=\sin x.

于是令

y_p=u_1\cos x+u_2\sin x.

附加条件与原方程给出线性系统：

\begin{cases} u_1'\cos x+u_2'\sin x=0,\\ -u_1'\sin x+u_2'\cos x=\tan x. \end{cases}

解得

u_1'=\cos x-\sec x, \qquad u_2'=\sin x.

因此可取

u_1=\sin x-\ln|\sec x+\tan x|, \qquad u_2=-\cos x.

代回后，中间有两项会抵消，得到 particular solution

\boxed{y_p(x)=-(\cos x)\ln|\sec x+\tan x|.}

先求 $y_c$ ，再选合适的方法求 $y_p$ 。

Example 2

y''-2y'+y=2xe^x.

展开解答

先解齐次方程：

(r-1)^2=0,

因此

y_c=(c_1+c_2x)e^x.

取两个基本解

y_1=e^x,y_2=xe^x.

它们的 Wronskian 为

W=y_1y_2'-y_1'y_2=e^x(1+x)e^x-e^x(xe^x)=e^{2x}.

原方程右端为

f(x)=2xe^x.

由参数变易公式，

u_1'=-\frac{f(x)y_2(x)}{W(x)}=-\frac{(2xe^x)(xe^x)}{e^{2x}}=-2x^2,

u_2'=\frac{f(x)y_1(x)}{W(x)}=\frac{(2xe^x)(e^x)}{e^{2x}}=2x.

积分得

u_1=-\frac{2}{3}x^3,u_2=x^2.

于是 particular solution 可取为

y_p=u_1y_1+u_2y_2 =\left(-\frac{2}{3}x^3\right)e^x+x^2(xe^x) =\frac{1}{3}x^3e^x.

因此总解为

\boxed{y=(c_1+c_2x)e^x+\frac{1}{3}x^3e^x.}

这里也能顺便看出：因为右端 $2xe^x$ 与齐次解中的 $e^x,xe^x$ 发生重合，所以若用 undetermined coefficients，trial form 需要从 $x^2e^x$ 再往上乘到三次，最终也会得到 $x^3e^x$ 这一型。

Example 3

x^2y''-3xy'+4y=x^2\ln x.

展开解答

这是一道 Euler equation 的非齐次版本。先化成标准形式：

y''-\frac{3}{x}y'+\frac{4}{x^2}y=\ln x.

对应 homogeneous equation 为

x^2y''-3xy'+4y=0.

代入 $y=x^\lambda$ ，得到特征方程

\lambda(\lambda-1)-3\lambda+4=0 \quad\Longrightarrow\quad (\lambda-2)^2=0.

所以

y_c=x^2(c_1+c_2\ln x).

取两个基本解

y_1=x^2, \qquad y_2=x^2\ln x.

计算 Wronskian：

y_1'=2x, \qquad y_2'=2x\ln x+x,

因此

W=y_1y_2'-y_1'y_2 =x^2(2x\ln x+x)-2x(x^2\ln x)=x^3.

标准形式右端为

f(x)=\ln x.

于是

u_1'=-\frac{f(x)y_2(x)}{W(x)} =-\frac{(\ln x)(x^2\ln x)}{x^3} =-\frac{(\ln x)^2}{x},

u_2'=\frac{f(x)y_1(x)}{W(x)} =\frac{(\ln x)x^2}{x^3} =\frac{\ln x}{x}.

积分得

u_1=-\frac{1}{3}(\ln x)^3, \qquad u_2=\frac{1}{2}(\ln x)^2.

所以

y_p=u_1y_1+u_2y_2 =-\frac{1}{3}x^2(\ln x)^3+\frac{1}{2}x^2(\ln x)^3 =\frac{1}{6}x^2(\ln x)^3.

故总解为

\boxed{y=x^2(c_1+c_2\ln x)+\frac{1}{6}x^2(\ln x)^3.}

Example 4

(1-x)y''+xy'-y=-(1-x)^2.

展开解答

这道题最能体现三种方法之间的配合：

先化标准形式；
用观察法 + reduction of order 求 homogeneous equation 的两个基本解；
再用 variation of parameters 求 particular solution。

先把方程除以 $1-x$ （默认在不跨过 $x=1$ 的区间上讨论）：

y''+\frac{x}{1-x}y'-\frac{1}{1-x}y=-(1-x).

所以

p(x)=\frac{x}{1-x}, \qquad q(x)=-\frac{1}{1-x}, \qquad f(x)=-(1-x).

先看 homogeneous equation：

(1-x)y''+xy'-y=0.

直接试一个简单函数，发现

y_1=x

就是一个解，因为代回可得

(1-x)\cdot 0+x\cdot 1-x=0.

接下来用 reduction of order 求第二个解。由公式

y_2=y_1\int \frac{e^{-\int p(x)dx}}{y_1^2}\,dx,

先算

\int p(x)dx=\int \frac{x}{1-x}dx=-x-\ln|1-x|.

因此

e^{-\int p(x)dx}=e^x|1-x|.

在固定区间内去掉绝对值记号后，得到

y_2=x\int \frac{e^x(1-x)}{x^2}\,dx.

注意到

\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x}\right)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}=-\frac{e^x(1-x)}{x^2},

所以积分可取为

\int \frac{e^x(1-x)}{x^2}dx=-\frac{e^x}{x}.

从而

y_2=x\left(-\frac{e^x}{x}\right)=-e^x.

去掉无关常数倍后，可取

y_2=e^x.

于是 homogeneous part 的通解为

y_c=c_1x+c_2e^x.

现在开始做 variation of parameters。先算 Wronskian：

W=y_1y_2'-y_1'y_2 =x\cdot e^x-1\cdot e^x=e^x(x-1).

由参数变易公式，

u_1'=-\frac{f(x)y_2(x)}{W(x)} =-\frac{[-(1-x)]e^x}{e^x(x-1)}=-1,

u_2'=\frac{f(x)y_1(x)}{W(x)} =\frac{[-(1-x)]x}{e^x(x-1)}=xe^{-x}.

积分得

u_1=-x,

而

u_2=\int xe^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}.

所以

y_p=u_1y_1+u_2y_2 =(-x)x+[-(x+1)e^{-x}]e^x =-x^2-x-1.

检验一下：

y_p'=-2x-1, \qquad y_p''=-2,

代回原方程可得

(1-x)(-2)+x(-2x-1)-(-x^2-x-1)=-(1-x)^2,

确实成立。

因此总解为

\boxed{y=c_1x+c_2e^x-x^2-x-1.}

这道题的结构非常值得记住：

已知一个 homogeneous solution $\Rightarrow$ 用 reduction of order；
已有两组基本解，要求 nonhomogeneous particular solution $\Rightarrow$ 用 variation of parameters。

Endpoint Problems and Eigenvalues#

前面大部分内容都建立在 initial value problem (IVP) 的唯一性之上。一个典型二阶 IVP 是

y''+p(x)y'+q(x)y=0, \qquad y(a)=0, \qquad y'(a)=0,

此时唯一解是平凡解 $y\equiv 0$ 。但如果把两个附加条件分开放在区间两端：

y''+p(x)y'+q(x)y=0, \qquad y(a)=0, \qquad y(b)=0,

那么问题就变成 endpoint problem 或 boundary value problem (BVP)。这时情形和 IVP 非常不同：它可能没有非平凡解，也可能有无穷多个非平凡解。

IVP and BVP#

可以这样对比记忆：

IVP：附加条件都放在同一个点，例如 $y(0),y'(0)$ ；
BVP：附加条件放在不同的边界点，例如 $y(0),y(L)$ 或 $y(0),y'(L)$ 。

Example#

Example 1: No Nontrivial Solution

考虑

y''+3y=0, \qquad y(0)=0, \qquad y(\pi)=0.

展开解答

通解为

y(x)=A\cos(\sqrt3\,x)+B\sin(\sqrt3\,x).

由 $y(0)=0$ 得 $A=0$ ，于是

y(x)=B\sin(\sqrt3\,x).

再代入 $y(\pi)=0$ ：

B\sin(\pi\sqrt3)=0.

由于 $\sin(\pi\sqrt3)\neq 0$ ，只能有 $B=0$ ，所以此 BVP 只有平凡解：

\boxed{y(x)\equiv 0.}

Example 2: Infinitely Many Nontrivial Solutions

再看

y''+4y=0, \qquad y(0)=0, \qquad y(\pi)=0.

展开解答

通解为

y(x)=A\cos 2x+B\sin 2x.

由 $y(0)=0$ 得 $A=0$ ，故

y(x)=B\sin 2x.

此时

y(\pi)=B\sin 2\pi=0

对任意 $B$ 都成立，所以所有

\boxed{y(x)=B\sin 2x}

都是解。只要 $B\neq 0$ ，就是非平凡解，因此这里有 无穷多个 非平凡解。

边值问题并不自动唯一，参数稍微变化，就可能在“无解”和“无穷多解”之间切换。

Eigenvalues and Eigenfunctions#

把上述问题统一写成

y''+p(x)y'+\lambda q(x)y=0, \qquad y(a)=0, \qquad y(b)=0,

其中 $\lambda$ 是参数。我们关心的是：哪些 $\lambda$ 会让这个 BVP 有非平凡解？

若某个 $\lambda=\lambda_*$ 使问题存在非零解，则称 $\lambda_*$ 为一个 eigenvalue；对应的非零解称为 eigenfunction。

WARNING
对同一个 eigenvalue，eigenfunction 的任意非零常数倍仍然是 eigenfunction，所以真正重要的是它的“形状”，而不是倍数。

Classical Model#

y''+\lambda y=0, y(0)=0, y(L)=0

展开解答

分三种情况讨论。

Case 1: $\lambda=0$

方程变成

y''=0,

通解为

y(x)=Ax+B.

由边值条件 $y(0)=0$ 、 $y(L)=0$ 立刻推出 $A=B=0$ ，所以只有平凡解，即

\lambda=0\ \text{不是 eigenvalue。}

Case 2: $\lambda<0$

设

\lambda=-\alpha^2, \qquad \alpha>0.

则方程变成

y''-\alpha^2y=0,

通解可写成

y(x)=A\cosh(\alpha x)+B\sinh(\alpha x).

由 $y(0)=0$ 得 $A=0$ ，于是

y(x)=B\sinh(\alpha x).

再代入 $y(L)=0$ 得

B\sinh(\alpha L)=0.

由于 $\sinh(\alpha L)\neq 0$ ，只能 $B=0$ 。因此 $\lambda<0$ 也不会产生非平凡解。

Case 3: $\lambda>0$

设

\lambda=\alpha^2, \qquad \alpha>0.

则方程为

y''+\alpha^2y=0,

通解为

y(x)=A\cos(\alpha x)+B\sin(\alpha x).

由 $y(0)=0$ 得 $A=0$ ，故

y(x)=B\sin(\alpha x).

若要有非平凡解，就必须 $B\neq 0$ ，所以

\sin(\alpha L)=0.

这说明

\alpha L=n\pi, \qquad n=1,2,3,\dots

因此

\boxed{\lambda_n=\frac{n^2\pi^2}{L^2},\qquad n=1,2,3,\dots}

对应的 eigenfunctions 可取

\boxed{y_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad n=1,2,3,\dots}

这说明一个典型现象：eigenvalues 通常不是连续的一段，而是一串离散的数列。

Example 4: Changing Boundary Conditions Changes the Spectrum

若把边界条件改成

y''+\lambda y=0, \qquad y(0)=0, \qquad y'(L)=0,

展开解答

仍先考虑 $\lambda>0$ ，设 $\lambda=\alpha^2$ 。此时

y(x)=A\cos(\alpha x)+B\sin(\alpha x).

由 $y(0)=0$ 得 $A=0$ ，所以

y(x)=B\sin(\alpha x), \qquad y'(x)=B\alpha\cos(\alpha x).

条件 $y'(L)=0$ 给出

B\alpha\cos(\alpha L)=0.

若要有非平凡解，必须 $B\neq 0$ ，因此

\cos(\alpha L)=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha L=\frac{(2n-1)\pi}{2}, \qquad n=1,2,3,\dots

从而

\boxed{\lambda_n=\frac{(2n-1)^2\pi^2}{4L^2},\qquad n=1,2,3,\dots}

对应 eigenfunctions 为

\boxed{y_n(x)=\sin\frac{(2n-1)\pi x}{2L},\qquad n=1,2,3,\dots}

这说明：边界条件一变，允许的模态和对应的 spectrum 也会跟着改变。

General Procedure: Determinant Equation#

一种统一 procedure。

先把 general solution 写成

y=A\,y_1(x,\lambda)+B\,y_2(x,\lambda).

代入两个 boundary conditions 后，总会得到关于 $A,B$ 的齐次线性方程组：

\alpha_1(\lambda)A+\beta_1(\lambda)B=0,

\alpha_2(\lambda)A+\beta_2(\lambda)B=0.

要有 nontrivial solution $(A,B)\neq (0,0)$ ，充要条件就是系数行列式为 0：

\boxed{ D(\lambda)= \alpha_1(\lambda)\beta_2(\lambda) -\alpha_2(\lambda)\beta_1(\lambda) =0. }

因此：

eigenvalues 正是 determinant equation 的实根。

这和 linear algebra 中“齐次线性方程组有非零解当且仅当行列式为 0”完全一致。

Bonus: Additional Examples and Applications#

把问题转化成 ODE，再利用 ODE 的结构来解决。

An ODE in the Guise of an Integral Equation#

题目是

f(x)=e^{-x}- \int_0^x t\,f(x-t)\,dt.

展开解答

表面上这是一个 integral equation，但它其实可以化成 ODE。

先把卷积型积分改写。令 $s=x-t$ ，则 $t=x-s$ ，于是

\int_0^x t f(x-t)dt =\int_0^x (x-s)f(s)ds.

记

I(x)=\int_0^x (x-s)f(s)ds.

那么原方程就是

f(x)=e^{-x}-I(x).

接下来对 $I(x)$ 求导。由 Leibniz rule，

I'(x)=\int_0^x f(s)ds,

再求一次导数得到

I''(x)=f(x).

而原方程又告诉我们

I(x)=e^{-x}-f(x).

两边求两次导数可得

I''(x)=e^{-x}-f''(x).

由于 $I''(x)=f(x)$ ，所以

f(x)=e^{-x}-f''(x),

也就是

\boxed{f''+f=e^{-x}.}

现在还需要初始条件。由原 integral equation 在 $x=0$ 处的取值，

f(0)=e^0-0=1.

再对原方程求导。由

I'(x)=\int_0^x f(s)ds,

得到

f'(x)=-e^{-x}-\int_0^x f(s)ds.

令 $x=0$ ，便有

f'(0)=-1.

因此要解的是 IVP：

\begin{cases} f''+f=e^{-x},\\ f(0)=1,\\ f'(0)=-1. \end{cases}

先解齐次方程：

f_h=c_1\cos x+c_2\sin x.

对右端 $e^{-x}$ 取 particular solution 形如 $Ae^{-x}$ ，代入得

2Ae^{-x}=e^{-x},

所以

A=\frac12.

故通解为

f(x)=c_1\cos x+c_2\sin x+\frac12 e^{-x}.

用初值条件：

f(0)=c_1+\frac12=1 \Rightarrow c_1=\frac12,

f'(x)=-c_1\sin x+c_2\cos x-\frac12 e^{-x},

所以

f'(0)=c_2-\frac12=-1 \Rightarrow c_2=-\frac12.

最终得到

\boxed{f(x)=\frac12\cos x-\frac12\sin x+\frac12 e^{-x}.}

某些 integral equation 可以通过求导变成更熟悉的 differential equation。

Two Integrals by the Feynman Method#

在积分号下对参数求导（differentiate under the integral sign）。

先引入一个参数，把原积分嵌入一个更一般的积分族；
对参数求导后，积分会变简单；
解出关于参数的 ODE，再把参数取回原值。

Example 1

\text{Compute } \int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\,dx

展开解答

定义

F(a)=\int_0^{\infty} e^{-ax}\frac{\sin x}{x}\,dx, \qquad a>0.

当 $a>0$ 时，指数衰减保证这个积分非常好处理。对 $a$ 求导：

F'(a)=\int_0^{\infty}\frac{\partial}{\partial a} \left(e^{-ax}\frac{\sin x}{x}\right)dx =-\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin x\,dx.

而

\int_0^{\infty}e^{-ax}\sin x\,dx=\frac{1}{1+a^2}, \qquad a>0.

所以

F'(a)=-\frac{1}{1+a^2}.

这是一个一阶 ODE，积分得

F(a)=C-\arctan a.

为了确定常数，考察 $a\to+\infty$ 。此时 $e^{-ax}\to 0$ 很快，所以

F(a)\to 0.

于是

0=C-\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{\pi}{2}.

因此

F(a)=\frac{\pi}{2}-\arctan a.

最后令 $a\to 0^+$ ，得到

\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx =F(0^+) =\frac{\pi}{2}.

即

\boxed{\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}.}

Example 2

\text{Compute } \int_0^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}\,dx.

展开解答

这题可以和前一个例子统一起来处理。仍然定义参数积分族

G(a)=\int_0^{\infty}\frac{\cos(ax)}{x^2+1}\,dx, \qquad a\ge 0.

目标是求 $G(1)$ 。

先对 $a$ 求导：

G'(a)=\int_0^\infty \frac{-x\sin(ax)}{x^2+1}\,dx.

这里把 integrand 改写成

\frac{x}{x^2+1} =\frac{x^2}{x(x^2+1)}.

于是就有

G'(a) =-\int_0^\infty \frac{x^2}{x^2+1}\cdot \frac{\sin(ax)}{x}\,dx.

再利用

\frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1},

可得

G'(a) =-\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x}\,dx +\int_0^\infty \frac{1}{x^2+1}\cdot\frac{\sin(ax)}{x}\,dx.

对第二项记

H(a)=\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x(x^2+1)}\,dx.

那么

G'(a)=-\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x}\,dx+H(a).

而前一个例子已经求过

F(a)=\int_0^\infty \frac{\sin(ax)}{x}\,dx, \qquad a>0,

其值为

F(a)=\frac{\pi}{2}.

因此对 $a>0$ ，

G'(a)=-\frac{\pi}{2}+H(a).

下面来求 $H(a)$ 。对 $a$ 求导：

H'(a)=\int_0^\infty \frac{\cos(ax)}{x^2+1}\,dx=G(a).

所以我们已经得到

G'(a)=-\frac{\pi}{2}+H(a), \qquad H'(a)=G(a).

再对第一式求导：

G''(a)=H'(a)=G(a).

于是

\boxed{G''-G=0\qquad (a>0).}

通解为

G(a)=C_1e^a+C_2e^{-a}.

当 $a\to+\infty$ 时，由于 $\cos(ax)$ 振荡越来越快，积分趋于 $0$ ，所以

G(a)\to 0.

因此必须有

C_1=0,

故

G(a)=C_2e^{-a}.

再代入 $a=0$ ：

G(0)=\int_0^\infty \frac{1}{x^2+1}\,dx =\left[\arctan x\right]_0^\infty =\frac{\pi}{2}.

所以

C_2=\frac{\pi}{2}.

最终得到

\boxed{G(a)=\frac{\pi}{2}e^{-a}.}

令 $a=1$ ，便有

\boxed{\int_0^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+1}\,dx=\frac{\pi}{2e}.}

这两题都体现了同一个核心：

把一个看起来不容易直接算的积分，升级成一个带参数的函数，再去解它满足的微分方程。

Kepler’s First and Second Laws#

怎样用 ODE + 极坐标把物理定律推成轨道方程。

1. Basic Formulas in Polar Coordinates#

在平面极坐标中，记

\hat r=(\cos\theta,\sin\theta)^T, \qquad \hat\theta=(-\sin\theta,\cos\theta)^T.

这是随时间转动的一组单位基。

它们满足

\frac{d\hat r}{dt}=\dot\theta\,\hat\theta, \qquad \frac{d\hat\theta}{dt}=-\dot\theta\,\hat r.

如果行星位置向量写成

\vec r=r\hat r,

那么速度为

\dot{\vec r}=\frac{d}{dt}(r\hat r) =\dot r\,\hat r+r\dot\theta\,\hat\theta.

再求一次导，得到加速度分解：

\ddot{\vec r} =(\ddot r-r\dot\theta^2)\hat r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\hat\theta.

2. Newton’s Law of Gravitation and Equations of Motion#

中心天体质量为 $M$ ，行星质量为 $m$ 。万有引力大小为

\frac{GMm}{r^2},

方向始终沿径向指向太阳，所以矢量形式为

\vec F=-\frac{GMm}{r^2}\hat r.

由 Newton 第二定律

m\ddot{\vec r}=\vec F,

代入极坐标加速度分解，比较 $\hat r$ 与 $\hat\theta$ 方向系数，得到

\boxed{\ddot r-r\dot\theta^2=-\frac{GM}{r^2}}

和

\boxed{2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta=0.}

3. Kepler Second Law#

第二个方程可以整理成

\frac{d}{dt}(r^2\dot\theta)=0.

因此

\boxed{r^2\dot\theta=L}

其中 $L$ 是常数。

而极短时间 $dt$ 内扫过的扇形面积近似为

dA=\frac12 r^2 d\theta,

所以面积速度为

\frac{dA}{dt}=\frac12 r^2\dot\theta=\frac{L}{2}.

这说明

\boxed{\frac{dA}{dt}=\text{constant}.}

这正是 Kepler’s Second Law：

行星在相等时间内扫过相等面积。

从 ODE 的角度看，它来自切向方程的一个 first integral。

4. Kepler First Law#

接下来处理径向方程。令

p=\frac{L^2}{GM}, \qquad u=\frac{p}{r},

也就是

r=\frac{p}{u}.

因为

r^2\dot\theta=L,

所以

\dot\theta=\frac{L}{r^2}=\frac{Lu^2}{p^2}.

对 $r=p/u$ 求导：

\dot r=\frac{dr}{d\theta}\dot\theta =\frac{d(p/u)}{d\theta}\cdot \frac{L}{r^2} =-\frac{L}{p}u'.

再求导得

\ddot r=\frac{d}{d\theta}(\dot r)\dot\theta =-\frac{L}{p}u''\cdot \frac{Lu^2}{p^2} =-\frac{L^2u^2}{p^3}u''.

另一方面，

r\dot\theta^2 =\frac{p}{u}\cdot \frac{L^2u^4}{p^4} =\frac{L^2u^3}{p^3}.

把这些代回径向方程

\ddot r-r\dot\theta^2=-\frac{GM}{r^2},

并利用

GM=\frac{L^2}{p},

可化简为

u''+u=1.

于是得到一个非常熟悉的常系数二阶方程，其通解为

u=1+A\cos(\theta+\varphi),

其中 $A,\varphi$ 为常数。

回到 $r$ ，便有

\boxed{r=\frac{p}{1+A\cos(\theta+\varphi)}.}

这正是一个 conic section（圆锥曲线）在焦点为原点时的极坐标方程。

当 $A=0$ 时，是圆；
当 $0<A<1$ 时，是椭圆；
当 $A=1$ 时，是抛物线；
当 $A>1$ 时，是双曲线。

对行星这种有界轨道，实际对应的是椭圆，因此得到 Kepler’s First Law：

行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点。

Introduction: Second-Order Linear Equations#

Basic Form#

Homogeneous and Nonhomogeneous Equations#

Initial Conditions#

Superposition, Uniqueness, and General Solutions#

Principle of Superposition#

Existence and Uniqueness#

Linear Independence and the Wronskian#

General Solution of a Homogeneous Second-Order Equation#

Linear Equations of Higher Order#

General Form#

Homogeneous Solution Space#

Structure of Nonhomogeneous Solutions#

Homogeneous Equations with Constant Coefficients#

Characteristic Equation#

Distinct Real Roots#

Repeated Real Roots#

Complex Roots#

Repeated Complex Roots#

Polynomial Differential Operators#

Standard Workflow#

Bonus: Euler Equations#

Standard Form#

Change of Variables#

Euler Characteristic Equation#

Solution Forms#

Bonus: Reduction of Order#

Basic Idea#

Reduction Formula#

Nonhomogeneous Equations and Particular Solutions#

Method of Undetermined Coefficients#

Duplication and Multiplication by xsx^sxs#

Variation of Parameters#

Example:#

Endpoint Problems and Eigenvalues#

IVP and BVP#

Example#

Eigenvalues and Eigenfunctions#

Classical Model#

General Procedure: Determinant Equation#

Bonus: Additional Examples and Applications#

An ODE in the Guise of an Integral Equation#

Two Integrals by the Feynman Method#

Kepler’s First and Second Laws#

1. Basic Formulas in Polar Coordinates#

2. Newton’s Law of Gravitation and Equations of Motion#

3. Kepler Second Law#

4. Kepler First Law#

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Duplication and Multiplication by $x^s$ #